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Raíz cúbica

Caso de radicación que resulta de multiplicar un número tres veces por sí mismo para obtener el número original.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

La raíz cúbica es un caso especial de la radicación (operación inversa a la potenciación), y resulta de multiplicar un número tres veces por sí mismo para obtener el número original.

Así se tiene, que sí $a^3=b\$ , entonces $\sqrt[3]{b}=a$ . Entonces, para hallar la raíz cúbica de un número se debe encontrar aquel número que multiplicado tres veces por sí mismos de como resultado el primer número.

Las raíces cúbicas pueden ser exactas, que resulta cuando el residuo es cero y para ello el radicando debe ser un cubo perfecto. Puede ser inexactas, en el caso que sean inexactas debe cumplirse que: $\sqrt[3]{n}=ab+r$

Raíz cúbica.

Elementos

Los elementos de la raíz cúbica son los siguientes:

Partes de una raíz cúbica.

Radical: el símbolo que indica la operación de radicación.
Índice: es el número al que se eleva la raíz, o el tipo de raíz que se busca. Para el caso de la raíz cúbica el índice es 3.
Radicando: también llamado cantidad subradical. Es el número que está dentro del radical, al cual se le va a calcular la raíz.
Raíz: es la solución de la raíz cúbica.

Propiedades

Las principales propiedades de la raíz cúbica son:

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La raíz cúbica de cualquier número impar es otro número impar. Por ejemplo $\sqrt[3]{343}=7$ .
La raíz cúbica de cualquier número natural par es otro número par, por ejemplo; $\sqrt[3]{64}=4$ .
La raíz cúbica de un número negativo siempre da como resultado un número negativo, esto según la aplicación de la regla de los signos. $\sqrt[3]{-343}=-7$ .
Para cualquier número racional se tiene: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ , ejemplo; $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{4}{3}$ .

Cálculo

Unos de los métodos para calcular la raíz cúbica es por división larga. Se explica a continuación el proceso a través de un ejemplo; $\sqrt[3]{176832}$ .

Antes de comenzar se recomienda tener a disponible la potencia al cubo de los números del 1 al 10.

1³= 1	2³=8	3³=27
4³=64	5³=125	6³=216
7³=343	8³=512	9³=729
10³=1000

Se considera la definición de raíz cúbica $\sqrt[3]{n}=ab+r$ , donde $n={(10a+b)}^3+r$ , esta fórmula se desarrolla quedando:

1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ + r y se utilizará para efectos de cálculo de la raíz cúbica: 300a²b, 30ab², b³

Paso 1

Separar el radicando en grupo de tres números, comenzando de derecha a izquierda.

Paso 2

Se comienza a dividir por el grupo de números que está más a la izquierda, buscando un número que al cubo sea igual o menor al primer grupo de tres dígitos seleccionado. En este caso al 176, la potencia que se aproxima a este número es 5³. Se escribe el 5 como divisor.

Para esto se recomienda utilizar la tabla de potencia al cubo de los números del 1 al 10 mencionada anteriormente.

Paso 3

Se resta el cubo del divisor al grupo seleccionado para hallar el nuevo dividendo.

Paso 4

Se baja el siguiente trío de números del radicando, se separan los dos últimos dígitos y es en este punto donde se utiliza la fórmula: 300a²b, 30ab², b³.

Paso 5

Entonces, la fórmula servirá para hallar una estimación del siguiente divisor, donde “a” es el divisor actual hallado y se hace de la forma siguiente:

300a²b = 300 (5)² b, se multiplica 5²=25 → 25*3=75, se divide 518 ÷ 75=6,90; entonces se estima que b es igual a 6. Se completa la fórmula 300a²b = 300(5)² (6) = 45000

30ab² = 30(5)(6)² = 5400

b³ = (6)³ = 216

Todos los resultados se suman: 45000 + 5400 + 216 = 50616, este resultado se resta al dividendo nuevo y el 6 obtenido (b) se pasa al divisor

Paso 6

De existir más números en el dividendo, se continúa realizando el mismo proceso, para este caso en particular el resultado aproximado es:

$\sqrt[3]{176832}=56+1216$ , es aproximadamente 56 con residuo 1216.

Si se desea comprobar que el resultado es correcto se eleva al cubo el resultado y se le suma el residuo. ((56)³) + 1216 = 175616 + 1216 = 176832.

Ejemplos

Algunos ejemplos de raíz cúbica son:

$\sqrt[3]{64}=4$	$\sqrt[3]{128}=5.04$	$\sqrt[3]{27}=3$
$\sqrt[3]{216}=6$	$\sqrt[3]{1000}=10$	$\sqrt[3]{1}=1$
$\sqrt[3]{125}=5$	$\sqrt[3]{-4096}=-16$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: resolver la potencia y expresar en forma de raíz cúbica.

Potenciación	Solución
(11)³
(15)³
(23)³

Ver solución

Potenciación	Solución
(11)³	(11)³= 1331 → $\sqrt[3]{1331}$ = 11
(15)³	(15)³= 3375 → $\sqrt[3]{3375}$ = 15
(23)³	(-23)³ = -12167 → $\sqrt[3]{-12167}$ = -23

Ejercicio #2

Problema a resolver: hallar la raíz cúbica de 5832.

Ver solución

$\sqrt[3]{5832}=$

La raíz cúbica de 5832 es 18, una raíz exacta. $\sqrt[3]{5832}=18$

Bibliografía:
1977. Álgebra Elemental. Ediciones Cultural Venezolana. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Raíz cúbica. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/raiz-cubica/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 08 de julio de 2024.

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