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Propiedad conmutativa

Propiedad que refiere que el orden en el que se encuentren los números en ciertas operaciones matemáticas, no altera el resultado que se obtiene.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

La propiedad conmutativa refiere que el orden en el que se encuentren los números en ciertas operaciones matemáticas, no altera el resultado que se obtiene.

Esta propiedad, se aplica a las operaciones básicas de la suma y multiplicación, en cualquier conjunto de números conocidos, ya sean números enteros, fraccionarios, además de expresiones algebraicas y vectores.

La aplicación de la propiedad conmutativa es de gran ayuda cuando se desean resolver, sumas o multiplicaciones, desde su forma más sencilla, hasta expresiones algebraicas, polinomios y suma de vectores, entre otros casos que aplican.

De esta manera, aplicando la regla conmutativa, resulta más fácil invertir el orden de los números o términos de la operación matemática para su resolución.

Propiedad conmutativa para la suma

En el caso de la suma, la propiedad conmutativa indica que el resultado de la operación es siempre el mismo, sin importar el orden en el que se sumen los números.

De manera general, si se tienen dos números cualesquiera denotados con las letras a y b, entonces; la propiedad conmutativa se expresa como: $a+b=b+a$ , donde a y b ∈ C.

Que los sumandos pertenezcan al conjunto de los números complejos, significa que esta propiedad se puede aplicar a cualquiera de los conjuntos de números conocidos, naturales, enteros, racionales, reales y por su puesto a los complejos.

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Se puede tener la suma de diferentes números y se observa que:

Para números naturales sumar $12+25=37$ , al igual que sumar $25+12\ =37$ . Sin importar el orden de los sumandos, el resultado sigue siendo 37.
En el caso de números enteros: $\left(-4\right)+\left(-13\right)=-17$ , al igual que $\left(-13\right)+\left(-4\right)=-17$ .
Se debe aclarar, que esta operación se trata de una suma de números negativos, no de una resta.
Si se tienen números fraccionarios, se comprueba que:
$\frac{1}{6}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}$
$\frac{\left(1\ast2\right)+\left(6\ast3\right)}{6\ast2}=\frac{\left(3\ast6\right)+\left(2\ast1\right)}{2\ast6}$
$\frac{2+18}{12}=\frac{18+2}{12}$
$\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$
Comprobándose, que sin importar el orden en el cual se sumen las fracciones, el resultado es el mismo.
Para el caso de dos polinomios $P\left(x\right)=2x+5 y Q\left(x\right)=4x-27$ . Se puede decir; según la regla conmutativa que: $P\left(x\right)+Q\left(x\right)=Q\left(x\right)+P(x)$ . Realizando la operación se puede verificar lo siguiente:
$P\left(x\right)+Q(x)=(2x+5)+(4x-27)=6x-22$
$P\left(x\right)+Q(x)=(4x-27)+(2x+5)=6x-22$
De esta manera se puede aplicar la regla conmutativa a la suma de diferentes números y polinomios.

Propiedad conmutativa para la multiplicación

La propiedad conmutativa para la multiplicación, indica que el orden en el que se multipliquen los factores no afecta el producto.

Se puede generalizar la definición dada para dos o más números cualesquiera, denotados con las letras, se cumple que:

$a\ast b=b\ast a$

Al igual que en la suma, esta regla se puede aplicar al conjunto desde los números naturales hasta los complejos.

Ejemplificando la propiedad para diferentes tipos de números se puede demostrar que:

Para los números enteros: $3\ast\left(-5\right)=-15$ , se verifica que $\left(-5\right)\ast3=-15$ .,
Si se tienen números fraccionarios, la multiplicación de $\frac{5}{8}\ast\frac{4}{3}=\frac{5}{6}$ , es igual al producto de $\frac{4}{3}\ast\frac{5}{8}=\frac{5}{6}$ .
Para la multiplicación de dos polinomios $A\left(x\right)=2x+3\ ,\ B\left(x\right)=x+1$ , se debe cumplir que $A\left(x\right)\ast B\left(x\right)=B\left(x\right)\ast A(x)$ . Por ejemplo:
$\left(2x+3\right)\ast\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\ast\left(2x+3\right)$
${2x}^2+5x+3={2x}^2+5x+3$

Características de la propiedad conmutativa

Es importante tener presente algunos aspectos sobre la propiedad conmutativa, que permitirán saber cómo aplicar esta regla. Algunas características son las que se mencionan a continuación:

La propiedad se aplica para dos o más términos en la que sea conveniente «cambiar el orden” de estos para facilitar la resolución de la operación matemática.
La propiedad conmutativa se aplica a la suma y multiplicación del conjunto de números $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ .
La resta se considera una operación «no conmutativa«, donde $a-b\neq b-a$ . Al cambiar el orden de los números el resultado no es el mismo.
La propiedad conmutativa no se aplica a la división, esta operación es “no conmutativa”. $8\div5=1,6\ \neq5\div8=0,625$ .
La regla conmutativa aplica para la suma y multiplicación de polinomios.
La regla conmutativa se puede aplicar a la suma de vectores.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: comprobar que se cumple la propiedad conmutativa para la siguiente suma de números enteros. $60 + 15 - 80 - 5 = 15 - 80 + 60 - 5$

Ver solución

Para la suma de números enteros se aplica la regla de los signos y se obtiene:

$60 + 15 - 80 - 5 = 15 - 80 + 60 - 5$

$75 - 85 = -85 + 75$

$-10 = -10$

Se comprueba la propiedad conmutativa para la suma de números enteros.

Ejercicio #2

Problema a resolver: comprobar que se cumple la propiedad conmutativa para la siguiente multiplicación de fracciones. $\frac{1}{5}\ast\frac{3}{4}\ast\frac{8}{7}=\frac{8}{7}\ast\frac{3}{4}\ast\frac{1}{5}$

Ver solución

$\frac{1\ast3\ast8}{5\ast4\ast7}=\frac{8\ast3\ast1}{7\ast4\ast5}$

$\frac{24}{140}=\frac{24}{140}$

$\frac{6}{35}=\frac{6}{35}$

Se demuestra, que el orden en el cual se multiplican las fracciones, no interfiere en el resultado final.

Ejercicio #3

Problema a resolver: para la siguiente operación verificar que se cumpla la propiedad conmutativa. $231.5 - 872,7 = 872,7 - 231,5$

Ver solución

Eesolviendo la sustracción se tiene:

$231,5 - 872,7 = 872,7 - 231,5$

$-641,2 \neq 641,2$

No se cumple la propiedad conmutativa.

Bibliografía:
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Propiedad conmutativa. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/propiedad-conmutativa/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 20 de mayo de 2024.

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