Tetraedro

Definición

Un tetraedro es una figura geométrica tridimensional que consiste en un poliedro formado por cuatro caras triangulares, seis aristas y cuatro vértices.

Es también conocido como «pirámide triangular», ya que sus caras son triángulos.

Su nombre deriva del griego «tetra», que significa «cuatro», y «edro», que significa «cara». Esta denominación refleja su principal característica: la presencia de cuatro caras.

En términos más simples, se puede imaginar un tetraedro como una pirámide con una base triangular y tres caras adicionales que se encuentran inclinadas hacia arriba para formar un vértice común.

Cada una de estas caras triangulares está conectada por sus aristas a otros tres vértices, creando una estructura sólida y estable.

Su estudio permite entender conceptos como la simetría, la relación entre los elementos geométricos y la aplicación de fórmulas para calcular su área superficial y volumen.

Elementos

Los elementos de un tetraedro son los siguientes:

• Caras: consta de cuatro caras, cada una de las cuales es un triángulo. Estas caras son planas y están conectadas entre sí a lo largo de sus aristas. En la figura: ΔABD, ΔADC, ΔBDC, ΔABC.
• Vértices: tiene 4 vértices (A, B, C, D), que son los puntos donde se encuentran las aristas. Cada vértice es el punto de intersección de tres caras.
• Aristas: Posee seis aristas, que son líneas rectas que conecta dos vértices del tetraedro. Las aristas definen los límites de las caras y la forma general
  el tetraedro. En la figura: AB, AD, AC, BC, BD, CD.
• Ángulo diedro: Se forma por la unión de dos caras. Hay tantos ángulos diedros como número de aristas.
• Ángulo poliedro: Es aquel que se forma por los lados que coinciden en un solo vértice.
• Altura: es el segmento de recta perpendicular trazada desde un vértice hasta su cara opuesta.

La interacción entre caras, vértices y aristas define la forma tridimensional única de esta figura geométrica.

Propiedades

• Tiene exactamente 4 caras, 4 vértices y 6 aristas. Esta relación entre sus elementos es constante y característica de esta figura geométrica.
• Un vértice está conectado a tres aristas y, por lo tanto, a tres caras.
• Cada arista está conectada a dos vértices y, por lo tanto, delimita dos caras.
• Las caras del tetraedro son triángulos, cada uno de ellos comparte aristas con las otras tres caras.
• En su forma más común, un tetraedro es un sólido regular, lo que implica que todas sus caras son triángulos equiláteros (con lados iguales) y todos sus ángulos son iguales.
• En su forma regular, tiene tres planos de simetría que lo dividen en partes iguales, esto refiere una simetría de reflexión de orden 3.

Tipos

Los tetraedros, aunque poseen una estructura básica definida por cuatro caras triangulares, pueden presentar variaciones significativas en su configuración y características.

Tetraedro regular

Un tetraedro regular es aquel en el que todas sus caras son triángulos equiláteros, es decir, todos sus lados son de igual longitud y todos sus ángulos internos miden 60 grados.

Es considerado uno de los sólidos platónicos, junto con el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El tetraedro regular es simétrico y posee una distribución uniforme de sus caras, vértices y aristas.

Tetraedro irregular

Un tetraedro irregular es aquel en el que al menos una de sus caras no es un triángulo equilátero.

Esto implica que los lados y los ángulos de las caras pueden variar en longitud y magnitud.

Los tetraedros irregulares pueden tener formas y geometrías muy diversas, lo que resulta en una distribución menos simétrica de sus elementos.

En esta clasificación se pueden distinguir dos tipos:

• Tetraedro Trirrectángulo: es aquel en el que tres de sus caras son triángulos rectángulos que se unen en un vértice común, mientras que la cuarta cara no lo hace.
• Tetraedro Isofacial: la base de este tetraedro es un triángulo rectángulo, siendo sus otras tres caras triángulos isósceles.

Tetraedro derecho

El tetraedro derecho aquel cuyo vértice común está directamente encima del centro de la base.

Tetraedro oblicuo

En este tipo de figura el vértice no está directamente encima del centro de la base.

Fórmulas

Altura de un tetraedro

Para calcula la altura (h) de un tetraedro se utiliza la siguiente fórmula:

Esta fórmula proporciona la altura del tetraedro regular en términos de la longitud de su arista (a).

Área de un tetraedro

Para un tetraedro regular se puede hallar el área a partir de la longitud de la arista, sabiendo, que todas las aristas tienen igual longitud.

La fórmula es la siguiente:

Donde «a» representa la longitud de las aristas.

Esta fórmula aprovecha la simetría y regularidad del tetraedro regular para simplificar el cálculo del área.

En el caso de un tetraedro irregular se debe hallar el área de cada cara por separado y luego sumar todas las áreas calculadas.

Volumen de un tetraedro

La fórmula la hallar el volumen de un tetraedro a partir de la longitud de las aristas es la siguiente:

Por lo tanto, para un tetraedro regular, el volumen (V) se puede calcular como un doceavo del cubo de la longitud de una de sus aristas (a) multiplicado por la raíz cuadrada de 2.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Se tiene un tetraedro regular con una arista de longitud a = 6 cm. Encuentre su volumen.

Ejercicio #2

Calcula el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 9 cm.