Eje de simetría

Definición

El eje de simetría se define como una línea imaginaría que divide en dos partes idénticas una figura, de esta manera; cada porción de la figura representa un reflejo de la otra.

En geometría, el eje de simetría también es conocido como eje de reflexión, línea de simetría o línea de espejo y se encuentra definido dentro de la “simetría axial”, que es aquella que se da con respecto a un eje.

De esta manera, si en una figura hay al menos una recta que la divida en dos partes idénticas, de modo que una mitad es la imagen especular de la otra mitad, se dice que la figura tiene simetría lineal o de reflexión y la línea es el “eje de simetría”.

Entonces, la figura es simétrica con dos partes congruentes en cuanto a forma y tamaño.

Por ejemplo, en el hexágono se trazan diferentes líneas que lo dividen en dos partes iguales.

Por el contrario, una figura no es simétrica (es asimétrica) cuando al trazar una línea recta por su medio, la figura se divide en dos partes que tienen tamaños diferentes.

Este es el caso de algunos polígonos irregulares como el triángulo escaleno y el trapecio escaleno, a los cuales no es posible trazar un eje de simetría. Si se traza una línea en su centro, las partes en las que se divide son diferentes.

Tipos

El eje de simetría se puede clasificar en función de su orientación en vertical, horizontal y diagonal.

Eje vertical de simetría

Corresponde a una recta que se traza de arriba hacia abajo por el centro de la figura dividiéndola en dos áreas iguales.

Una figura con un eje de simetría vertical, será exactamente igual a sí misma si se voltea de lado o se gira 90° alrededor de esa línea. Este es el caso de un rectángulo, como se muestra en el siguiente diagrama.

Eje horizontal de simetría

Para este caso la línea de simetría se traza en la figura de izquierda a derecha o viceversa, cortándola de manera horizontal en dos mitades congruentes.

Para el caso, se presenta un rectángulo con un eje horizontal, el cual se observa exactamente igual si se gira 90° sobre la recta que lo corta.

Eje diagonal de simetría

Una línea diagonal de simetría divide una forma en mitades idénticas cuando se traza en las esquinas diagonales.

En la siguiente representación, se puede notar que el cuadrado se puede dividir desde sus esquinas para formar dos superficies idénticas. En tal caso, la línea de simetría es una diagonal.

Distintas figuras pueden tener diferentes líneas de simetría y pueden estar en cualquier dirección como se puede ver en las formas planas mostradas a continuación.

Eje de simetría en las figuras geométricas

Las figuras geométricas pueden tener uno o varios ejes de simetría y hay otras que no tienen ninguna línea de simetría, considerándose figuras asimétricas.

En un polígono regular el número de líneas de simetría es igual a la cantidad de lados que posea.

Sin embargo, en los polígonos irregulares la cantidad de ejes de simetría varía, incluso algunos no llegan a tener línea de simetría.

La siguiente tabla muestra diferentes polígonos con sus ejes de simetría.

Polígono	Ejes de simetría	Características
	3	1 eje de simetría vertical y 2 ejes diagonales. Cada eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta con la altura, mediana, bisectriz y mediatriz.
	1	1 eje de simetría vertical. En un triángulo isósceles la mediatriz de su base es eje de simetría, porque es también bisectriz.
	4	1 eje de simetría vertical, 1 eje horizontal y 2 diagonales. Los ejes diagonales de simetría también son las diagonales del cuadrado.
	5	1 eje de simetría vertical y 4 ejes diagonales.
	6	1 eje de simetría vertical, 1 eje horizontal y 4 diagonales. Los hexágonos irregulares no poseen eje de simetría.
	2	1 eje de simetría vertical y 1 eje horizontal Las dos diagonales del rombo forman sus ejes de simetría.
	2	1 eje de simetría vertical y 1 eje horizontal, ya que sus lados son iguales dos a dos.
	1	1 eje de simetría vertical el cual es perpendicular a las bases del trapecio y las corta en sus puntos medios

El círculo tiene infinitos ejes de simetría y cada línea se corta en el centro del círculo.

En cuanto a los poliedros, el eje de simetría corresponde a una recta en la que se cortan dos o más planos de simetría de dicha figura tridimensional.

Los ejes de simetría también son ejes de rotación, debido a que, si se gira el poliedro por dicho eje cierta cantidad de grados, se obtendrá otra vez el mismo cuerpo sólido.  Como el tetraedro que se muestra en el diagrama anterior y que tiene 7 ejes de rotación.

Otros ejemplos de ejes de simetría en las figuras tridimensionales serían los que se indican a continuación:

En este tipo de figuras el eje de simetría va a corresponder con su altura.

Eje de simetría de la parábola

Toda parábola posee un eje de simetría, el cual es una línea recta que la divide en dos partes idénticas.

La parábola puede tener cuatro formas. Puede ser horizontal o vertical, apuntando hacia la izquierda o hacia la derecha, y el eje de simetría determina la forma de la parábola.

Si el eje de simetría es vertical, entonces la parábola es vertical (se abre hacia arriba/abajo). En cambio, si el eje es horizontal, entonces la parábola es horizontal (abre a la izquierda/derecha).

Fórmula del eje de simetría de la parábola

La fórmula del eje de simetría se aplica en ecuaciones cuadráticas donde se usa la forma estándar de la ecuación . En este caso para hallar el eje de simetría se utiliza lo fórmula:

donde “a” y “b” son los coeficientes que acompañan a las variables de la ecuación cuadrática. Es de considerar que el

Las parábolas que están en forma de vértice también tendrán un eje de simetría. Sin embargo, la fórmula es ligeramente diferente.

Cuando una parábola se da en forma de vértice, aparece como , donde (h, k) es el vértice de la parábola.

Para este caso, la fórmula para hallar el eje de simetría es

Simplemente para determinar el eje de simetría se requiere identificar el vértice.

Ejercicio de eje de simetría

Hallar el eje de simetría de la función cuadrática