Bisectriz

Definición

En geometría se denomina bisectriz al segmento de recta que divide algo en dos partes iguales.

Cuando una semirrecta corta en dos porciones congruentes algo se dice que lo biseca, así un segmento de recta puede bisecar un ángulo, el ángulo en un triángulo, un segmento de recta.

Al bisecar una figura o elemento adquiere ciertas características que permiten su estudio desde el área de la geometría.

Las figuras a continuación muestran algunos ejemplos de bisectriz más comúnmente estudiados, que corresponden a la bisectriz de un ángulo y la bisectriz de los triángulos.

Bisectriz de un ángulo

Para cualquier tipo de ángulo, la bisectriz corresponde al segmento de recta que se traza partiendo del vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruentes.

Así, si se tiene el ángulo ∠BAC de medida 120°, trazando la bisectriz desde el vértice A se obtienen dos ángulos congruentes, el ∠BAF de medida 60° y el ∠FAC de medida 60°, la bisectriz es el segmento de recta .

Propiedades de la bisectriz de un ángulo

• Todos los puntos de la bisectriz del ángulo son equidistantes de ambos lados del ángulo, por esto se dice que la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo. Se tiene que si es bisectriz del ∠BAC, entonces , por tanto .
• La bisectriz de un ángulo se puede dibujar en cualquier ángulo, como un ángulo agudo, obtuso o recto.
• La bisectriz de un ángulo recto lo divide en dos ángulos agudos de igual amplitud.
• En un ángulo llano (180°) la bisectriz lo divide en dos ángulos rectos (90°).

Bisectriz de un triángulo

Se denomina de esta manera al segmento de recta que divide por la mitad un ángulo del triángulo. En los ángulos internos de un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, partiendo cada una desde el vértice de cada ángulo del triángulo.

Las tres bisectrices ,, que se trazan en el triángulo se cortan en el punto denominado como “incentro” (I).

Para hallar la medida de cada bisectriz se utilizan las siguientes fórmulas:

Donde “s” es el semiperímetro del triángulo, que se calcula de la forma siguiente:

Propiedades de la bisectriz de un triángulo

• En un triángulo rectángulo la bisectriz que se trace desde cualquiera de su ángulo divide el triángulo en dos triángulos congruentes.
• Se debe mencionar que las tres bisectrices de un triángulo equilátero son iguales, por tanto, la fórmula para hallar la bisectriz en este tipo de triángulo es: , donde “B” es la bisectriz y “L” es el lado del triángulo.
• En un triángulo isósceles dos de sus bisectrices son de igual longitud.
• El teorema de la bisectriz refiere que: en un triángulo, la bisectriz de cualquier ángulo dividirá el lado opuesto en la proporción de los lados que contienen el ángulo. Para el ∠ABC con bisectriz trazada desde el vértice A hasta el lado opuesto , se cumplirá:
  

  Cumpliéndose que: En un triángulo cualquiera, la bisectriz interior elevada al cuadrado, es igual al producto de los lados que forman el vértice de donde parte dicha bisectriz, menos el producto de los segmentos determinados por esa bisectriz en el tercer lado.

Bisectriz del ángulo exterior del triángulo

En un triángulo también se puede trazar la bisectriz de cada ángulo exterior, conocidas como bisectrices exteriores, que dividen en dos ángulos congruentes cada ángulo exterior del triángulo y se interseca con la prolongación del lado opuesto al vértice.

Así, se tiene que para el ∆ABC, la bisectriz del ángulo exterior α es el segmento de recta y es relativa a la prolongación del lado .

Por el teorema de la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo, refiere que la bisectriz divide a la prolongación del lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a los lados que forman el ángulo interior suplementario del ángulo exterior.

Se cumple que: . Por ejemplo; si el segmento BD mide 10,23 cm, AB = 4,84 cm., CD = 6,23 cm y AC = 2,94 c se cumple que:

0,47=0,47

Bisectriz de un cuadrado

En un cuadrado la bisectriz de cada uno de sus ángulos coincide con cada diagonal dividiendo los ángulos de los vértices en dos, de tal manera que en cada vértice se formarán 2 ángulos de 45º, que corresponde con el ángulo que forma la diagonal de un cuadrado.

De esta manera la bisectriz en un cuadrado y la diagonal es lo mismo.

Bisectriz de un segmento

En un segmento de recta el bisector recibe el nombre de mediatriz, por lo que las propiedades de la bisectriz de un ángulo son semejantes a las propiedades de la mediatriz.

La mediatriz es el segmento de recta que divide una recta en dos segmentos de igual longitud y se caracteriza por estar perpendicular a la recta de la cual se quiere trazar.

La mediatriz de un segmento tiene también la propiedad de que cada uno de sus puntos es equidistante de los puntos extremos del segmento.

En un triángulo se pueden trazar desde cada uno de sus lados una mediatriz, que biseca en dos segmentos de recta congruentes cada lado, es decir la mediatriz pasa por el punto medio de un lado del triángulo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: en el ángulo ∠POQ de la figura, la bisectriz es . Dada la información de las medidas hallar el valor de α y β.

Ver solución

Como es la bisectriz, significa que divide el ∠POQ en dos ángulos iguales. Entonces se tiene que:

∠POE = ∠EOQ. Sustituyendo los valores de los ángulos se obtiene la ecuación 130° – α = α, despejando α

130° = α + α → 2α = 130°

Ahora, conocido que α = 65, se sabe que el ∠POQ = 130° (α+α). El valor de β sería:

130 + β = 180° → β = 180° – 130°

β = 50°.

Ejercicio #2

Problema a resolver: en ΔXYZ, XE es la bisectriz de ∠X. Sean , y . Encontrar la longitud de.